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Algebraic K-theory

　位相空間における複素K理論を、代数的な側面から、つまり可換環を対象として議論するのがAlgebraic K-theoryである。つまるところ、空間Xから、Grothendeic群のK_*(X)を構成したように、可換環Rに対してもK_*(R)を定義しようというものである。
　空間の時の基本になっていたのは空間上のvector bundleの同型類にgroup completion（grothendieck construction）を施したK_0(X)であった。環に関しても同様に、その環上のfinite generated projective moduleの同型類の成す集合を直和とテンソル積によってmonoidと思い、group completionによってabel群（可換環）のK_0(R)を構成する。
　moduleを用いる事から、無論のことR,Sがmorita同値なら、K_0(R)とK_0(S)は同型になる。

　K_1(R)はどうするかというと、GL(R)という行列環のcolimitを考え、これにabelianization
を施す。これは１次homology群が1次homotopy群のabelianizationだったことを思い出す。K_2(R)はRのsteinberg groupからGL(R)へのcanonical mapのKernelという定義らしい。これらを一般化するように高次のAlgebraic K-theoryを構成するのは中々難しい。

　一般のK_n(R)を構成するためには、とりあえず、Rからsmall categoryを作るというのが考えられる。そこまで行けば、分類空間を取りhomotopy群を取るという操作でK_n(R)を定義できる。さて、どのようなsmall categoryが良いだろうかと考えたとき方法はおおよそ２つある。
　一つは、GL(R)が群であるからsmall categoryなのだが、これに単純に分類空間を取ったのではなく、plus constructionという、つまりループと分類空間をとるような操作を考えるのが一つ。Weibelのlecuture noteが役立つ【Wei】。この場合はK_nにはπ_nと同次数を取ればよい（普通、分類空間はhomotopy群を1次下げるが、ループを取っているのでまた1次あがる）。
　もう１つはQ-constructionである【Qui73】。これは一般的にexact categoryから構成できるらしいが、Rの場合はfinite generated projective R-moduleからなるcategoryのP(R)を考えればtensorでabelian categoryになるのでこれを考えればよい。しかし、この構成はかなり複雑だ。無論のこと、どちらの構成においても先に書いたK_0、K_1、K_2とは合致しているらしい。
　Higer algebraic K-theoryをmodel categoryの視点から構成しようとしているのはWaldhausenである【Wal85】。彼が言うにはmodel categoryならずとも、weak equivalenceとcofibrationを備えたようなWaldhausen catgeoryにおいて議論している。さらにsimplicialなhomotopy論の視点からalgebraic K-theoryを考察しているのは【BM07】である。