Twisted K-theory

　Twisted K-theoryの全般的な話と歴史的な背景についてはAtiyah-Segalの【AS04】、【AS05】、【Kar07】なんかにある。
　まず、通常の位相的K-theoryの構成法にも何通りかの種類がある。

ベクトル束の安定同値類

Fredholm作用素の空間への写像のホモトピー類

関数環、つまりC^*代数による定義

さて、「捻られた」K理論とは、一体何で捻るのかというとprincipal bundleである。2番目の定義が一番定式化しやすいようで、Hを無限次元可分Hilbert空間としたとき、その射影ユリタリー群P(H)=U(H)/U(1)、p : P→Xをprincipal P(H)束、Hに作用するFredholm作用素の空間をF(H)としたとき、随伴束 P×F(H)→Xのsectionのfiberwise homotopy類がpによるtwisted K-group K_p(X)の元となる。もちろんpが自明束の場合が、通常のK群に一致する。この場合、X上のprincipal PH束は分類定理から[X,BPH]という写像空間のhomotopy類と考えられるが、このとき、BPHはEilenberg-MacLane space K(Z,3)であることがわかるので、コホモロジーの表現から、

　　　　　　　　　

となり、twistingは3次元のコホモロジークラスに対応する。
　テキサス大学の五味氏は1番目の定義をtwisted versionに定式を考えている【Gom07】、【Gom08】。そこでは一般Hermiteベクトル束というものを考えている。

　twisted K-theoryのequivariant versionもある。離散群からproper actionの場合【Dwy07】やgroupoid【Can09】、もっと一般にLie群、Lie groupoidのactionも考えられるらしい。equivariant K-theoryの環構造なんかも考えられている【TX06】。