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符号理論

　ＰＤＦ　｜符号と暗号の理論｜

　ＩＳＢＮ番号というのは、本の裏に書いてある１０桁（現在では１３桁）の数字である。ただし、最後の桁はXなんかの英字が使われている場合もある。これはもちろん本を識別するための番号、IDである。ただし、その中で識別番号として意味があるのは初めの９桁だけである（ハイフンは無視）。では、最後の桁は何のためにあるのか？
　
　これは「間違い防止」のためである。例えば、９桁だけにしておくと、ひとつどこかを間違えただけで全く違う本を認識してしまう。本屋などが大量に本を発注する際に、もしそんなことが起これば一大事である。よって１０桁目に間違い検出の数字を置くことは非常に意味がある。問題はどのようにそれを決めるかである。目標は１０桁のうちのどこか１つが間違っていたら、存在しなくなるように１０桁目を定めなければならない。例えばものすごく安易に、９桁目の数を繰り返して１０桁目なんかを決めても、無意味であることは少し考えれば分かる。

　この１０桁目の決め方は以下の通りである。まず９桁の数が与えられた場合、それを１桁目から順に、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉとでもしておく。このとき、次の計算をする。

　　　　　　　（１×Ａ＋２×Ｂ＋３×Ｃ＋……＋９×Ｉ）÷１１

そして、その余りを１０桁目にする。このとき、ひとつ困ったことは割り切れたときは０とすればいいが、１１で割るのだから余りが１０という場合もある。これだと１０桁目を何とすればいいか困るので、余り１０の場合は10桁目を文字Ｘとする。
　なぜこんな計算をしなければならないのか？もっと安易な方法は無いのか？など色々疑問はあるでしょうが、詳しくはPDFを参照あれ。とりあえず今自分の身の回りにある本を手にとって確かめて見るのが一番ではないかと思います。私の一番手近にあったのはこれでした。

（例）　ＬＡＴＥＸのテキスト「美文書作成入門」　奥村晴彦
　　　　ＩＳＢＮ番号　4-7741-1940-7

(4+14+21+16+5+6+63+32+0)÷11=161÷11=14…7というわけで7が１０桁目でよいですね。では例えば、このＩＳＢＮ番号の１つを間違えたとしましょう。

　　　誤ＩＳＢＮ番号　4-7745-1940-7

５桁め間違えたとしましょう。このとき
(4+14+21+16+25+6+63+32+0)÷11=181÷11=16…5となり、１０桁目で食い違いが起こります。これにより間違いが検出できます。これはどこの桁をどんな数に取り違えても、最後の１０桁目があわなくなります。ただし２つの桁で間違われると苦しいです。
　
　言い換えれば、正しいＩＳＢＮ番号かを判断する方法は

　　（１×Ａ＋２×Ｂ＋３×Ｃ＋……＋９×Ｉ＋10×１０桁目の数）÷１１

が割り切れればよいわけです。