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ホモロジー代数

　ＰＤＦ　｜Abelian category｜Derived category｜Derived functor｜
　　　　　｜Homotopy category｜

　（コ）ホモロジーを考える際、大概chain complexから構成する。chain complexというのは普通はR-moduleの列でmorphismを２回合成したら0となるものをさす。より一般にchain complexを議論しようとすると、morphismのKerやCokerが存在し、mophismに0のようなものが存在するcategoryを考えなければならない。そうして考えられたのが、加法圏（Additive category）やより強い条件のアーベル圏（Abelian category）である。とはいえ、smallであるAbelian categoryはAbel群のcatgeoryに埋め込めるので、ほとんど同じ議論ができる。Abelian categoryについては【Fre03】の解説などがあるが、圏論の教科書【Mac98】や【Mac05】にもある。
　（コ）ホモロジーはAbelian categoryであるAのchain complexのcategoryであるCh(A)から構成できる。このときchain homotpicの同値関係はMor(Ch(A))にも考えられるので、そのhomotopy categoryをK(A)とおく。さらにこれをquasi isomorphismで局所化したcategoryをAの導来圏（derived category）と呼びD(A)とする。代数の世界ではこのDerived categoryにおいて議論することが多いのだという。重要なのはこれがTriangulated categoryであるということだ。Triangulated categoryは【Nee01】がわかりやすい。さらにabelian category間のadditive functorからderived category間のderived functorを導くという事も考えられる。このあたりの話はDGMのmodel構造と関連がある。というより、model categoryの言葉を使えば、(injective)projective resolutionというのは、(fibrant)cofibrant replacementに相当する。
　これらHomological algebraと呼ばれる分野はGelfand・Manniの【GM03】が有名。日本語なら【加藤03】がかなりフランクな文体でしかも面倒な証明まできちんと載せてあるので素晴らしい。特にAbelian category（R-module）のderived catgeoryとderived functorについての解説がわかりやすい。
　２つの環があってそのDerived categoryがtriangulated categoryとして同値（Derived equivalence）というのはどういう状況だろうか？という疑問についてRicardが【Ric89】でまとめている。これはMorita equivalenceの一般化にもなっていて興味深い。

　こうしたモデル圏としての意味で、環や代数のホモトピー論なるものがホモロジー代数と捉えることもできる。Garkushaは環のホモトピー論として本当にpath空間やホモトピー、そしてsimplicial setの理論を持ち込んで行うことを考えている【Gar06】。