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Tannaka-Krein duality |
| 一般的に群の表現から元の群の情報を得るのは難しい。例えばD_4(dihedral
group)と、Q_8(quanternion group)は表現を見れば同じだが、群としては違うだろう。では表現を見るだけでなく何をみればよいのか。 Tannaka-Kreinはまず表現のcategoryとしてみる事、そしてそのmonoidal structureに注目した。つまり、F : Rep(G)→Vect というforgerful functorを考え、そのendmorphism、つまりnatural transformationでmonoidal strucutureを保ち、self-conjugacyを満たすものからなる群を考えた。このときcanonical morphism G→T(G) が同型になるというのがTannaka-Krein representation theoremである。逆に表現のcategoryから元の群を復元する操作をreconstruction theoremと呼んだりするらしい。 もともとはcompact groupに対する定理だったようだが、今は色々な対象に範囲を広げている。Bialgebroidに関するTannaka dualityについては【Szl09】がある |