Bousfield-Kan spectral sequence

　BousfieldとKanのhomotopy (co)limitの解説書として有名な【BK72】において、homotopy (co)limitのホモトピー群に収束するようなSpectral sequenceが考えられている。
　　　　　　　　　　　　　　

というfunctorがあったとき、E_2-termが各X(c)のhomotopy群のderived limitで、homotopy limitのhomotopy群に収束するというものである。

　　　　　　　　

特に、よく使われる形としてはC=Δの場合で、このとき、Xはcosimplicial spaceとなる。（ただし、Spaceをsimplicial setとして考えている）。このとき、Xがfibrantという条件を満たすならば、

　　　　　　　　　　　

というmapping spaceとの対応があるため、そこへ収束するspectral sequenceを考える事ができる。