トポロジートップ

トポロジーとは

　　｜わかりやすいトポロジー解説｜基本的な図形｜

簡単に言うとトポロジーっていうのは「図形が同じか、違うか」ということに尽きると思います。ただし図形といっても三角形や円とかの領域をはるかに超えた位相空間というもので考えます。そしてその位相空間なる図形が「同じ」とはどういうことなのか。

中学2年生で習う図形が同じという概念は「合同」です。これはつまり2つの図形の大きさと形が一緒。平行移動と回転でぴったりと重なります。

中学3年生で続いて「相似」というもを習います。今度は合同より少し弱く、図形の形だけ同じというもの。平行移動と回転に加え縮小・拡大で一致します。

問題はここからです。さらにこの同じという考えを弱めていきます。

続いてが「アフィン同値」です。これは伸縮を許します。ここまでくるともはや三角形はすべて同じとなります。正方形、長方形、平行四辺形も同じです。ですがまだ真直ぐは真直ぐです。円と三角形は違います。

そして歪みすらも許容したのが「同相」という概念です。ここまでくると三角形、四角形、円すらもすべて同一視できます。位相空間が同じというときは大体これか次のホモトピー同値です。

さらに先述した「ホモトピー同値」は連続的変形ならすべて同じとみなします。これにより、円板と一点が同じなんてことも起こります。さらに弱めた同値関係もあるのですが、おおよそこれぐらい知っておけば問題ありません。

トポロジーの概略は、2つの空間が同相あるいはホモトピー同値か否かの判断をする道具を探ります。直接示す手段もありますが、往々にして面倒なので。
その最たるものは、（コ）ホモロジー群であり、ホモトピー群です。大体は位相空間の情報を群などの扱いやすい対象に変換して比べるのです。