トポロジートップ

トポロジーとは

｜わかりやすいトポロジー解説｜基本的な図形｜

　トポロジー（Topology）という言葉すら聞いたことがないという方もおられるかもしれない。日本語に訳すなら位相幾何学なのだろうか。ここではまずはじめに、トポロジーという学問が大体どういったことを行い、何を調べようとしているのか、ということを大雑把に、そして主観的に語ります。

　簡単に言うとトポロジーというのは「図形が同じか、違うか」ということに尽きると思います。そして同じとみなした図形らをひとくくりにしたとき、本質的に違う図形は何種類に分類できるかという問題です。ただし図形といっても三角形や円とかの領域をはるかに超えた位相空間という一般的な対象で考えます。そしてその位相空間なる図形が「同じ」とはどういうことなのか。

　中学2年生で習うであろう図形が同じという概念は「合同」です。これはつまり2つの図形の大きさと形が一緒。平行移動と回転でぴったりと重なります。
　中学3年生で続いて「相似」というものを習います。今度は合同より少し弱く、図形の形だけ同じというもの。平行移動と回転に加え縮小・拡大で一致します。
　問題はここからです。さらにこの同じという考えを弱めていきます。
　続いてが「アフィン同値」です。これは伸縮を許します。ここまでくるともはや三角形はすべて同じとなります。正方形、長方形、平行四辺形も同じです。ですがまだ真直ぐは真直ぐです。円と三角形は違います。
　そして歪みすらも許容したのが「同相」という概念です。ここまでくると三角形、四角形、円すらもすべて同一視できます。こう書いてしまうと、じゃあ全部の図形が同じになってしまうのでは、と思われるかもしれませんが、そんなことはありません。空間を同相で分類したとしても、それほど簡単にはなりません。
　トポロジスト（トポロジーを研究してる人）、あるいはホモトピー論に精通する方々にとって最も身近なのは、さらに弱い「ホモトピー同値」というものです。ホモトピー同値は連続的変形ならすべて同じとみなします。これにより、円板と一点が同じなんてことも起こります。
　先ほど同相という概念を話しましたが、例えばアルファベットの大文字を同相で同一視しても多分１０種類ぐらいあると思いますが、ホモトピー同値なら３種類です。小文字なら２種類で済みます。

　トポロジーの概略は、2つの空間が同相あるいはホモトピー同値か否かの判断をする道具を探ります。直接示す手段もありますが、往々にして面倒なので。その道具の一つが代数です。代数の力を借りて図形・空間の情報を取り出そうというのが代数的位相幾何学（Algebraic topology）のあらましです。最たるものは、（コ）ホモロジー群であり、ホモトピー群などです。大体は位相空間の情報を群や環などの対象に変換し、その代数構造に着目して元の空間の情報を調べます。
　ただ現在では代数的位相幾何学と言っても、代数だけではなく組み合わせ論や関数解析などで扱われる対象に絡めて議論をする場面もあり、多種多様な分野が混在し、それが面白いところでもあります。