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Small categoryの細分

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　small categoryのsubdivisionというものがある。正確には重心細分と呼ぶべきだろうか。これはsdというself functorで２回施すとposetができる。単体の重心細分同様に、これは基本的に幾何学的情報は変えない。つまり、sd(C)→CというFunctorで分類空間をとってhomotopy equivalenceになるものが存在する。つまり、任意のsmall categoryはposetで近似できるということになる。これはThomasonのmodel structure【Tho80】とも深く関わっていて、このcofibrationはDwyer mapと呼ばれているものだが、ここでのcofibrant objectがどうやらposetのようで、つまりはcofibrant replacementを行っていると解釈すべきなのだろうか。【Ho07】で詳しく述べられている。
　
　その一方でSegalらの論文の中では重心細分よりも荒い細分が紹介されている。重心細分が全ての次元のnerveをobjectにするのに対し、こちらの細分は1-nerve、つまりmorphismをobjectと思うという方法である。無論分類空間はhomotopy不変なのだが、残念ながら、こちらは何回施してもposetにはならない。しかし、重心細分よりは構成は単純である。それほどrelationが複雑で無いsmall categoryに対してはposetになることもあるので、その状況に応じて使い分けるとよい気がする。