ホモトピー論トップ

ファイバー束

　ＰＤＦ　｜ファイバー束｜ホモトピー群の完全列｜

　よい性質を持つ空間となると、一つには局所的にユークリッド空間になっている多様体、あるいはディスクの張り合わせになっているCW複体や単体複体などの空間の和集合として表される空間である。
　もう一つには局所的に直積になっている空間、ファイバー束である。これは底空間と呼ばれる空間Bがファイバーと呼ばれる空間Fによって積み上げられ全空間Eをなすというイメージ。F→E→Bという具合に空間の列で表記される事が多い。ファイバー束の名著といえば、Steenrodの【St99】であるが、英語なのでとっつきにくいと思えば、玉木の「ファイバー束とホモトピー」というサイトを見ると良い。

　例えば円筒（アニュラス）なんかは底空間S^1をファイバーIで積み上げたものです。というより、円筒自体がS^1×Iですので面白くもなんともない（自明なファイバー束）のだが、一方メビウスの帯も局所的に底空間S^1をＩに沿って積み上げたものと見ることができます。ですが構造的にはひねり（Z_2作用）が入っているわけで、それも勘案するならば構造群というのも含めて考えならない。似た概念には被覆空間があげられるが、これはファイバーが離散的なファイバー束と思ってよい。
　
　ファイバー束F→E→Bがあるとそこからホモトピー群の完全列が作れるので、F,E,Bのいずれかがよくわかっているとホモトピー群の計算が楽になる。また、ホモロジー群に関しても、ある条件のもと、H(E)というのはH(F)とH(B)のテンソル積と同型になる。まぁ、これはファイバー束の全空間は底空間とファイバーの直積のようなものだから、Kunnethの公式の一般的なものと思ってもよいのかもしれない。

　ファイバー束の条件を弱めて、被覆ホモトピー性質に着目したのがファイブレーションである。さらに弱めて、ホモトピー群の完全列に着目したのが弱ファイブレーションと呼ばれている。【西田85】が日本語で読みやすい。