コボルディズム

　Cobordismというのも色々あるらしいのだが、一番メジャーなのは複素コボルディズムというものである。
　二つのn次複素多様体において、そのdisjoint unionがn+1次複素多様体の境界になっているとき、コボルダントというn次複素多様体における同値関係が定義できる。この同値関係で割った集合をn次複素コボルディズム群と呼び、文字通りdisjoint unionによって群となる。これは、構造としては多様体Mに対し、この直和M+MはM×Iの境界なので、cobordism群においてはM+M=0となり、Z_2、あるいはその直和の構造を持っている。向きを勘案したりするとまた変わってくる。
　さらにnを極限まで飛ばしたものをMUと書き、これは直積によって環にもなる。というより環構造としては、
　　　　　　　　　　　　

　　　　（ただし、dim x_i=2^i）
という同型がある。
　コボルディズム群の構造については、【Rav03】なんかがよいらしい。

　このcobordantというのはn次多様体の同値関係であるのと同時にそれ自身、1次元高い多様体である。よって、n次多様体をobject、cobordantをmorphism、そしてcobrdantの間のsmmoth mapを2-morphismにすることで2-categoryを考える事ができる。これがcobordism categoryと呼ばれているものである。

　さらにはMorse functionのcobordantというものも考えられている。【Ike03】や【Kal04】なんかで考えられいるが、Morse functionというかfold mapというsingular pointがfold pointになっているsmooth mapに主眼が置かれている。