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多様体の定義

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　多様体とは各点に対し、ユークリッド空間上の開集合と同相の近傍をもつHausdorff空間のことである。１次元の多様体が曲線、２次元の多様体が曲面を意味するので、一般に曲がった空間を定式化したものだと思えばよい。多様体の基本的な教科書は、【松本88】、【服部89】などがおすすめである。
　多様体は開円盤の張り合わせと考えられるので、胞複体やCW複体の構造に近い。しかし、多様体に付随する構造としてよく考えられるのが微分可能性である。可微分多様体、あるいは滑らかな多様体はもともとの基となる空間としての位相情報よりも豊富で複雑な構造を持っている。
　1950から60年代ぐらいに盛んになったのは、同じ空間上にいくつの多様体構造が存在するかという疑問だった。その先駆けとなったのがMilnorによるエキゾチック球面の発見である。彼は７次元球面上に微分同相ではない滑らかな微分構造が複数存在することを示した。実際には28種類もの異なる微分構造があるらしい。その後、Donaldsonがエキゾチックな４次元ユークリッド空間を無数に発見し、フィールズ賞を受賞した経緯もある。
　とはいえ、局所的なユークリッド空間の構造ならまだ知れず、可微分構造をイメージするのはなかなか難しい。実際には３次元以下の多様体では、同一空間上の滑らかな可微分構造は本質的に１つしかないからである。
　もう一つ重要な問題は多様体の分類である。１次元閉多様体はS^1あるいはその直和に限ることが知られている。２次元の閉多様体（閉曲面）も分類定理から、実質的には２パターンに分かれる。それ以上の次元になると構造の複雑さが飛躍的に増す。中でも、Poincare予想解決の経緯からわかるように、３次元と４次元はとりわけ難しい。３次元についてはThurstonの幾何化予想があり、これが３次元のPoincare予想を含む形であった。