多様体の定義

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　多様体とは各点に対し、ユークリッド空間上の開集合と同相の近傍をもつHausdorff空間のことである。多様体の開部分集合、積空間はまた多様体となる。
　多様体はopen diskの張り合わせと考えられるので、CW複体の構造に近い。compactで境界のない多様体（閉多様体）については、Morse functionによるハンドル分解が与えられるので、CW複体の構造を持つ。
　低次元の閉多様体ならば、同相での分類ができる。１次元閉多様体はS^1あるいはそのdisjoint unionに限るし、２次元の閉多様体（つまり、閉曲面）は閉曲面の分類定理から、実質的には２パターンに分かれる。

　微分幾何で用いられる多様体は、微分構造も勘案した微分多様体が用いられる。その滑らかさの度合いでC^r多様体と呼ばれる。上記の微分構造を考えない位相多様体はC^0多様体とカウントされる。大体用いられるのは、何回でも微分可能なC^∞多様体（smooth manifold）である。
　　　　　　　　　　　

球面なんかは代表的な２次元の多様体の例です。