| モデル圏トップ |
構造を持ったModel category |
| model catgeoryには付随して、何かしらの構造を考えることが多い。 ・ Monoidal model category 【Hov98】、【Ho98】 ・ Simplicial model category 【Hir02】 ・ Stable model category 【Hov98】、【SS01】 ・ Proper model category 【Hir02】 ・ Cofibrantly generated model category 【Hov98】、【Hir02】 ・ Celluer model category 【Hir02】 ・ Combinatrial model category 【Lur08】 ・ Exellent model category 【Lur08】 典型例は積構造を勘案したmonoidal model categoryである。大体、身近なmodel categoryは(symetric) monoidalになっている。例えば、位相空間やsimplicial setは直積、Frobenius ring上のmoduleやDGMはtensor product、spectrumならsmash productなどだ。monoidal model categoryについてはHoveyの【Hov98】か、彼自身のpreprint【Ho98】を見るといい。さらには、積のadjointとしてHomのようなものが対応しているとき、closed monoidal model categoryというもの定義される。これはfibrationやcofibrationが保たれたり、変換されたりという関係が重要である。 monoidal categoryのmonoid obejectであるAに対して、A-modあるいはA-algebraの成すcategoryに対して、model structureが入るかという事も調べられている【LM06】。もちろん、model structureは単純に元のmodel categoryのweak equivalenceとfibrationを選んでくるようだが、そうなるとやはりcofibrantly generatedの仮定は必要そうだ。これについては、【SS98】で調べられている。 続いて重要なのが、topologyの視点から空間のような操作ができる構造を持ったsimplicial（topological） model categoryである。これはmodel categoryのHom setがsimplicial setになっており、つまりsimplicial setのcategoryでenrichされたcategoryでさらにmodel categoryのobjectとsimplicial setとの積構造とそのadjointでsimplicial setからのHom構造を入れたものである。 Homがsimplicial setや空間だと議論がしやすいようである。例えばhomotopy (co)limitの定義などで用いる。厳密にはframeというものが与えられたframed model categoryでhomotopy (co)limitというものは定義されるらしい、が、任意のmodel categoryにはFrame構造が存在するらしいので結局model categoryならhomotopy (co)limitは考えられるようだ。simplicial model categoryならそのframeがnaturalに決まる。【Hir02】が参考になる。 Hoveyの「model categories」では任意のpointed model categoryにはpre-triangulated構造が入ると記されている。これが真にtriangulatedであるとき、stable model categoryと呼ぶ。つまり、そのhomotopy categoryがtriangulated categoryであるという意味である。Stable model categoryでは上記のアナロジーでHomがspectrum、つまりspectral enrichmentの構造を持つ【Dug05】。 身近にあるtriangulated categoryはその元となるstable model categoryがある。例えば、R-module（abllian category）のDerived categoryはDGMの、stable moduleのcategoryはfrobenius ring上のmoduleの、stable homotopy categoryはspectrumのcategoryのそれぞれhomotopy categoryである。もちろん、そうではないtriangulated categoryというのもあるらしい。stable model categoryの分類を【SS01】で考えている。 |