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Operad
　ＰＤＦ　｜May's operad｜Markl's operad｜

　operadという言葉は1970年代にMayが「The geometry of insted loop space」の中で使ったのが始まりと言われているが、概念自体はさらに昔からあったようだ。Mayの定義は空間列とmap、対称群の作用などの情報から構成されているが、現在ではAdamsやBoardmanらが一般のmonoidal categoryにおけるoperadを定義している。Mayの定義は多くの入力に対し、一気に出力するという感じだが、Marklは二つずつ順に出力するという定義を考えた。どうやら、MayによるoperadのcategoryとMarklのoperadのcategoryはequivalenceになるらしい。

　operadとは何か？という問いに真っ向から答えているJ.Stasheffによる「What is an operad？」という２枚ほどのpaperもあった。彼とあとM.MarklそしてS.Shniderの著書【SMS02】がoperadを勉強するのにお勧めらしい。あとはMarklによる【Ma06】が読みやすい。

　operadの一番典型的なのはendomorphism operadというもので大体の本では、この例を参照にしてoperadを定義してある。これは一般にはclasedなsymmetric monoidal category、つまりHomがまたもとのcategoryのobjectになっているときに定義できる。集合、空間、DGMなどはこれを満たす。あとはtree operadやlittle cube operadなどは図に描いてみるとわかりやすい。
　A-infinity conditionを記述するのにはassociahedraという多面体から構成されるoperadを考えるが、これはtree operadで考えて見ると楽らしい。つまるところ、treeを少し変形して、位置関係から順序を考えposetとしてみたとき、その分類空間がassociahedraに現れる多面体と考えるべきだという。
　「サボテンoperad」なんていうものもある。「棘の無いサボテンoperad」というネーミングだけは非常に気になる。

　Berger-Moerdijk は、【BM02】でSymmetric monoidal categoryのoperadの圏のモデル構造についても考えている。それ以前にHinichが【Hi99】でchain complexのcategoryで考察している。さらにはそこから、Operad上のalgebra、moduleのcategoryのmodel structureも考えられる。【Kr07】、【Sp01】、【Fr07】。
　Operadの作用を受けるobjectをOperad上のalgbraと呼ぶ。別の言い方をすれば、Operadからそのobjectのendmorphism operadへのoperadのmorphismが存在するときと、言い換えられる。Assというassociative operad上のalgebraが通常の意味でのmonoid、Associahedra operad上のalgebraはA-infty spaceと呼ばれるものであり、Littele n-cube operad上のalgebraはちょうどn-fold loop spaceとなるらしい。最後についてはMayの原文が詳しい、というよりMayは多重ループ空間の構造を調べるためにoperadを考え出したように思う。
　
　operadの概念を広げたものとして、PropやColored operadと呼ばれるものがある。Colored operadはある種、small categoryとoperadを混ぜた雰囲気で、one object（simple color）のColored operadが通常のoperadという意味だから、many objectificationといっていいのかもしれない。また２個以上のinputをφとすれば、small categoryの意味になっている、というより一般のmonoidal categoryでのcolor operadならenriched small categoryを表している。呼び方が様々で、colored operad、multi category、operad with many sorcesなどと呼ばれる。operad上のmoduleや、operad上のalgebraの間のmorphismなどは、【BM05】によるとcolored operad上のalgebraとして表せるらしい。Colored operadのcatgeoryのmodel structureとしては、【St08】で考えられている。