Simplicial setの変種

　Simplicial setは

というfunctorであるが、Setの部分を他のcategoryに変えれば、様々なsimplicial objectを表現できる。ここでは定義域のΔを取り替えること考える。

□-Set、Cubical set
Cyclic set
Braidal set
Dendroidal set
Permutohedaral set、Associahedral set

　Δが三角なら、それを四角にしたら言いという発想が□-SetあるいはCubical setである。Δがn-simplex {Δ^n} らのface、degeneracy relationを元に構成されたcategoryだとすれば、□はn-cube {I^n} らのface、degeneracy relationを元に構成されている。このうちdegeneracy条件をはずしたものをcubical setと呼ぶようである。無論、simplicailと同様にcubeを貼り付けている形で幾何学的実現を取る事もできる。cubical setについては、Jardineのlecture 【Jar02】が詳しい。また、small categoryでもcubical nerveというnerveの取り方でcubical setを構成できる【Gol79】。□-setやcubical setはLackや、Quandleと呼ばれるalgebraic structureを持った集合のnerveとして現れる。KnotやLinkでは、このQuandleを構成してその分類空間を調べるという手法も行われている。
precubical setというものもあって、そのcohomology ringを調べている人もいる。【Lop09】。□にさらにBraidal relationも含めたcategoryも考える事ができる。
　Cyclic setは巡回群の作用を考えたΛというcategoryを定義域として考える。これからCyclic homologyなどを考える事ができる。
　Small categoryのnerveからはsimplicial setができるが、Multi category（colored operad）のnerveからはdendroidal setというものが生まれる。Dendroidal setは△をtreeに変えたものである。simplicial setがsmall categoryとのadjoint pairがあるように、dendroidal setはoperadと対応がある。【CM09】ではLurieのquasi category【Lur08】を真似て、dendroidal setのmodel structureでfibrantに対応するものを∞-operadとして研究している。またsimplicial abelian groupとDGMのDold-Kan correspondenceのdendoroidal version【GLW09】もある。simplicial setやcyclic setと同様にその実現や細分といったことも考えられる【Sai10】。

　Operadとの関連を考えれば、AssociahedraやPermutohedraなどの多面体のface、degeneracy conditionから非負整数をobjectとしたcategoryを考える事ができて、そこからのfunctorも考える事ができる。