層に関連した事柄

　位相空間があると、それは集合と位相という情報からなる。位相というのは、その集合の部分集合族からなるものである。これが開集合になるわけだが。そうすると、この開集合をobject、inclusionのみをmorphismとして、一つのcategory(poset)であるTを構成することができる。このcategoryは元の空間の情報をかなり持っている。そこで、このcategoryの表現を考える。つまり、Funct(T,Set)を考えるわけである。ちなみに反変関手である。このcategoryは空間の前層（presheaf）からなるcategoryと呼ばれている。前層にもう少し条件を加え、層が定義されます。そして、前層のcategoryのfull sub categoryとして層のcategoryを考える事ができる。イメージ的には前層というのは、空間の一部分からなっていて、ある種filterの役割を担っている。そこでspectral sequenceのように一部分から元の空間の情報を再構成するのに、この場合には張り合わせるわけですが、それがうまく張り合わせれるというのが層の条件、と解釈している。presheafからその情報を余り変えずにsheafを作る構成をshefificationと呼ぶが、例えばXのpresheaf、sheafというものとX上のover category、e'tale mapのcategoryを対応させる。図式で考えると、
　　　　　　　　　　　　　　　

のような対応がある。矢印を追っていけば、Presheafからsheafが得られる。【RR07】ではこの対応を内積を持ったHirbelt moduleというもので考えている。上の図式から、sheafとe'tale spaceというのは同一視して考える事が多い。M. Weissは【Wei05】でこの視点を交えて、small categoryの分類空間がsheafへのfunctorを分類していることを示し、【Wei08】ではmapping class groupへの応用を考えている。【Joh01】ではtopological category上のpresheafからloop spaceを考察している。

　表現を考える際に、代数的にはAbelian category上で考えた方が都合が良いので、Funct(T,A)で議論する事が多い。つまり、層のcohomologyなんかを考える事ができる。このとき、前層の間のmorphismのkernel、cokernelは再び前層であるが、層の間のmorphismのkernel、cokernelはまた層になるだろうかという疑問がある。kernelはOKだが、cokernelはNGらしい。そこでもshefificationが役に立つ。【加藤03】では主にAbelian categoryに値を持つsheafを考えている。空間上のsheafおよび、そのcohomology、より具体的にCech cohomologyに関しては、【Ive86】を始め、【Cib05】や、【Gar05】などを見ればよい。Jardineは【Jar06'】でmodel categoryのcocycle categoryを考え、sheafを考察している。

　空間Xの位相からなるposetからスタートしたが、これをGrothendieck topologyにおけるsiteからスタートすることにより、sheafの代わりにstackというものが考えられる。この際、値域もSetsのcategoryではなくsmall categoriesのcategory、あるいはgroupoidsのcategoryに広げる事ができる。【Hol01】、あるいは、【KS05】では後半にそういった話がある。
　sheafの一般的な考えとして、stackのほかにはtoposというものがある。Grothendieck toposと密接に関係しているのはsimplicial sheafである。simplicial sheafのcategoryにmodel structureを考え、homotopy論を展開するという考えがある。【Rez98】ではsimplicial sheafにおけるquasi fibration、【Wen09】ではhomotopy limitとcolimitについて考察されている。