Sheaves

　位相空間があると、それは集合と位相という情報からなる。位相というのは、その集合の部分集合族からなるものである。これが開集合になるわけだが。そうすると、この開集合をobject、inclusionのみをmorphismとして、一つのcategory(poset)であるTを構成することができる。このcategoryは元の空間の情報をかなり持っている。そこで、このcategoryの表現を考える。つまり、Funct(T,Set)を考えるわけである。ちなみに反変関手である。このcategoryは空間の前層（presheaf）からなるcategoryと呼ばれている。前層にもう少し条件を加え、層が定義されます。そして、前層のcategoryのfull sub categoryとして層のcategoryを考える事ができます。イメージ的には前層というのは、空間の一部分からなっていて、ある種filterの役割を担っています。そこでspectral sequenceのように一部分から元の空間の情報を再構成するのに、この場合には張り合わせるわけですが、それがうまく張り合わせられますというのが層の条件です、と解釈してます。presheafからその情報を余り変えずにsheafを作る構成をshefificationと呼ぶが、例えばXのpresheaf、sheafというものとX上のover category、e'tale mapのcategoryを対応させる。図式で考えると、
　　　　　　　　　　　　　　　

のような対応がある。矢印を追っていけば、Presheafからsheafが得られる。
　表現を考える際に、代数的にはAbelian category上で考えた方が都合が良いので、Funct(T,A)で議論する事が多い。つまり、層のcohomologyなんかを考える事ができる。このとき、前層の間のmorphismのkernel、cokernelは再び前層であるが、層の間のmorphismのkernel、cokernelはまた層になるだろうかという疑問がある。kernelはOKだが、cokernelはNGらしい。そこでもshefificationが役に立つ。【加藤03】では主にAbelian categoryに値を持つsheafを考えている。空間上のsheafおよび、そのcohomologyに関しては、【Ive86】などを見るといい。

　空間Xの位相からなるposetからスタートしたが、これをgrothendieck topologyにおけるsiteからスタートすることにより、sheafの代わりにstackというものが考えられる。この際、値域もSetsのcategoryではなくsmall categoriesのcategory、あるいはgroupoidsのcategoryに広げる事ができる。【KS05】では後半にそういった話がある。
　sheafの一般的な考えとして、stackのほかにはtoposというものがある。