Tree

　Treeとはループの無い連結なgraph、つまり1次元のcontractibleなCW complexである。このとき、1-cellが一つしか張り付いていない頂点、およびその1-cellをleaf（葉）と呼ぶ。leafではない1-cellはbranch（枝）と呼ばれ、特別なleafを一つ指定し、root（根）と呼ぶrooted treeを考える事もある。植物用語が豊富に出てくる。internal vertex、つまりleafに含まれない頂点が、すべて3つの1-cellが張られているとき、binary treeと呼び、R^2に埋め込みが与えられた場合planner treeと呼ばれる。絵に書く分には納得できるのだが、いざ正確な定義となると難しく、正確な事は、例えば【Ser03】なんかをみた方が良い。
　treeは組み合わせ論によく使われる。associahedraを記述する際はplanner rooted binary treeを考えるのが自然である。n-leavesとm-leavesのplaner rooted binary treeのleafとrootを繋げる事により、(m+n-1)-treeを構成することが可能である。これはoperadの構造を持っていてtree operadと呼ばれる【MS02】。tree operadとして扱ったほうがassociahedra operadとの対応が見やすく、faceやdegeneracyも幾分楽になると思う。空間として実現する際は、binaryを省きbranchを潰すことで大小関係を考え、posetとしその分類空間を取るという方法がある。ただし、このとき出てくる胞体の数が多すぎるので、分割を取り直す必要はある。
　treeをobjectでtrrのmapをmorphismとして、Δに変わるsmall categoryΩが構成できて、そこからのcontravariant functorによりdendoroidal setが定義される【MW07】、【CM09】。
　binary treeとfibered categoryの関係を考えているのは【Rag03】である。

　一方Euclid空間に実現する手段もある。LodayやZunigaによると、internal vertexに順番をつけ、その頂点をrootとしたsub tree内のleafの数からEuclid空間内の点を対応させ、そのconvex hullによりassociahedraを構成している。

　multiplihedraの場合、Forceyが【For07】でpainted treeというleafが色塗られたtreeを考え、それにより上記のようにconvex hullでEuclid空間への実現を与えているし、無論posetとしての分類空間の構成も考えている。おそらくoperad的にはcolored operadということなのだろうか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　