Chain Complex

　ＰＤＦ　｜chain complex｜

　ホモロジー群の構成方法は多くあるが、位相空間の情報を含んだchain complexをつくり、そこから部分商群という形でホモロジーを定義するのが普通だと思う。つまり、

　　　　　　　　

という2段階の操作が必要になります。まずはその前段階としてChain complexからAbel群であるホモロジー群を求める方法を紹介する。Chain complexとは次数付き加群と準同型の列、
　　　　　　　　　

で2回合成したら0というものである。次数つき加群をすべて直和して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

と考え、

　を次数-1の自己準同型で2回合成して0と定義してある本も多い。これは境界作用素と呼ばれたり単に微分と読んだりします。また、このことからchain complexのことをDGM（Differential Graded Module）と読んだりする。
　似た概念に完全列と言うものがある。完全列はchain complexの特別な場合で、その差を測るのがホモロジーと考えてよい。
　chain complexは完全に代数の話である。個人的には本で学ぶよりも大学の授業が一番わかりやすかった。あえて言うと【加藤88】が丁寧。また、【中岡99】はcochain complexとも並行して書かれている。

　Chain complexの圏では様々な操作ができる。例えば、次数がついていることからshiftするという操作があり、これが三角圏として構造のshift functorになるし、quasi isomorphism、chain homotopy equivalenceをweak equivalenceとしたモデル構造も入る。chain complexにおけるhomotopy pullback, pushoutについては【Won82】にある。

　Chain complexは2回合成して0となるsequenceだが、n回合成して0となるsequenceをn-complexと呼んでいる。【kap96】で述べられている。