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ホモロジー論 |
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| 代数的位相幾何学で最もよく用いられる代数的対象の一つがホモロジー群である。一口にホモロジー群と言っても多種多様で、係数を変化させることでもいろいろなバリュエーションがある。 おそらく初めて習うホモロジー群は単体複体のホモロジー群ではなかろうか。これは各単体の境界での張り合わさり方を見ているものである。単体に向きを与え、交互和をとり、境界で相殺させ、残ったものを見るというやり方はパズルのようで楽しい。 ここではより一般の特異ホモロジーについて主に説明する。これは任意の位相空間に対して定義されるものだが、やはり単体の概念を用いる。単体分割されていない空間で、何を単体とすればよいかだが、これは標準単体からの連続写像で代用する。これを特異単体と呼ぶ。これは単体的集合（simplicial set）に翻訳して構成するので、その話も知っていると理解が捗る。特に別で出てくるホモトピー群との関係がはっきりする。 ホモロジー群の定義にはいくつもの流儀があるが、重要なのは５つの性質である。Eilenbergはこの性質に着目し、ホモロジーを公理化してその一意性をうたった。つまり、数あるホモロジーでもその性質を満たせば、同型になるわけである。これより、単体複体のホモロジー、胞複体のホモロジー、多様体のde Rhamホモロジーなどが空間の特異ホモロジーと一致する。 単体分割のホモロジーについては、田村の「トポロジー」【田村72】が一貫して単体分割のホモロジーで話を進めているので見るといい。 特異ホモロジーについては色々な本があるが加藤の「位相幾何学」【加藤88】なんかが面倒な定理等も丁寧に証明してあるので好き。そして、中岡の「ホモロジー論」【中岡99】はさらに広い範囲をカバーして重要な事が記されている。どちらも主に係数を整数環と話しているので基本を学ぶにはもってこいだと思う。
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