CW複体

　ＰＤＦ　｜ＣＷ複体｜CW複体のホモロジー群｜実射影空間｜
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　位相空間といってしまうとその対象の範囲は広大になりすぎて扱うのに苦労する。ただあまりに限定してしまうと束縛が多すぎて身動きが取れないのでホモロジー論やホモトピー論を扱う上でちょうどいい程度に空間を限定する。

最もポピュラーなのが多様体だろうが、ホモトピー論では「ＣＷ複体」がよく用いられる。。頂点と呼ばれる点の集合から始まり、

　　　　　　　　

という骨格（skelton）と呼ばれる増大列の極限がXになる構造である。これにより各骨格の構造を調べることによりXに行き着ける。もうひとつ重要なのが、骨格の構造として、

　　　　

という同型があり、これはつまりディスクを順次、境界で貼り付けて得られる空間というわけでD^n、S^nの性質を強く持っている。その反面、おおよそ慣れ親しんでいる位相空間というのはだいたいこのCW複体になっている。例えば球面に関連深い空間としてトーラスや射影空間などはＣＷ複体である。

　CW複体に関してはおおよその位相幾何の本で扱っている。が、本によって定義が微妙に違っている事がある。【中岡99】や【May99】などをみるといい。
　CW複体のホモロジーに関しては、骨格の対空間のホモロジーと連結準同型を用いて、新たにcellular chainと呼ばれるchain complexを構成することができる。このホモロジーは、特異ホモロジーと同型になる事が知られている【中岡99】。もっといえば骨格のフィルターから誘導されるホモロジースペクトル系列の収束先が特異ホモロジー群である。
　モデル圏の視線からいうとCW複体のレトラクトだったり、そのホモトピー型を持つ空間というのは、Quillen型、あるいはmix型のcofibrant objectに相当する。そう考えるとWhiteheadの定理というのはモデル圏の言葉で述べられる。
　　　　　　　　　　