特異ホモロジー群

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　Chain complexからホモロジー群を定義した。よって次に考えるのは、位相空間が与えられたときにそこからChain complexを構成する方法である。これには集合から自由アーベル群を作り出す方法を用いる。整数を係数としたホモロジー群なら【加藤88】か【中岡99】が読みやすい。

　ホモロジーの創始者はアンリ・ポワンカレと言われている。彼の元々のアイデアを読んでみるのも面白い。境界に注目するというアイデアの原型になったのはオイラー数（ベッチ数）であったと考えられます。小学生か中学生のころに２次元ぐらいの図形で、「面の数－辺の数＋頂点の数」というのを計算して、１になったり０になったりというのを経験した事はないでしょうか。
　有限生成アーベル群の基本定理により、ホモロジー群が有限生成ならば、

　　　

という分解ができるわけですので、この自由部分（Ｚ）の個数をXのn次Betti数と呼んで、
b_n(X)と表す。オイラー標数はさらにこれを用いて、

　　

で定義される。面－辺＋頂点の意味はここから来ている。このようにオイラー数やベッチ数はホモロジー群の一部の情報を抜き出したと考えるのが妥当である。逆にホモロジー群はこれらオイラー数やベッチ数の拡張（categorificationと呼ばれる）である。