積空間のホモロジー群

　ＰＤＦ　｜テンソル積｜Eilenberg-Zilberの定理｜Kunnethの公式｜

　ホモロジーの場合、空間の直和（ウェッジ和）はホモロジー群の直和として分解してくれる。では空間の直積の場合はどうだろうか。同様にしてホモロジー群の直積に分解してくれれば話は早いがそうも行かない。
　というのも、群の場合は直和は直積の部分群として定義したわけで、直和と直積が双対になっているとはいいがたい。そこで加群、あるいは複体のテンソル積というものを考えます。テンソル積に関しては、双線形形式からの一意性を用いて定義する方法もある。これに関しては【岩佐02】を見るといい。空間の直積の特異鎖複体と、それぞれの複体のテンソル積を比べるための写像がAlexander-Whitney写像であり、それがホモトピー同値というのがEilenberg-Zilberの結果である。
　そしてさらに複体のテンソル積と、ホモロジー群のテンソル積について言及したのがKunnethの公式である。これらをまとめると、ある条件を満たすとき直積空間ののホモロジー群は、それぞれのホモロジー群のテンソル積に分解できる。

　　　　　　　　　

　通常これら普遍係数定理、およびKunnethの公式は一般の加群を係数に持つホモロジー群で考えるのが自然である。ここでは整数環という性質の良い係数で考えているので、普遍係数定理やKunnethの公式も安易な形になっています。【中岡99】ではこのような整数間に限定された議論がされています。もっと一般の係数での話を知りたいのなら、英語ですが【May99】が良いでしょう。
　Kunnethの公式によりトーラスのホモロジー群や、より一般に積球面のホモロジー群などは簡単に求める事ができます。