コンパクト開位相

　ＰＤＦ　｜コンパクト開位相｜コンパクト生成空間｜

　XからYへの連続写像の集合に、位相を入れて位相空間と考えるとき、compact open topologyを考えることが多い。compact open topologyは始めはとっつきづらいのだが「ファイバー束とホモトピー」にはそれを具体例を織り込んで丁寧に解説してある。基点自由の写像、基点付きの写像によってそれらを、　

　であらわしたとすると、写像の合成による対応

　　　　　

なんかや、Xの元を代入してYの元を対応させる写像、

が連続になるような位相が好ましい。とはいえ、一般の位相空間で考える際には、compact open topologyを使っても局所コンパクトやHausdorffを仮定しなければ、上記のような自然な写像が連続にはならない。本来ならばコンパクト生成空間の圏で議論されるべきである。それらのことは【西田85】なんか見ると良いと思う。compactly generated空間、K-空間とも呼ばれる由来になるのはKellyの【Kel75】であり、それ以前のものでも【Ste67】がconvinient spaceという名前で考えている。ここではHausdorffを仮定として考えているが、今ではweak Hausdorffで考えるのが普通である【Str?】。
　これらで重要なのは、Space→K-Space 、 K-Space→CGH というそれぞれinclusion functorのadjoint inverce functorである。model category的にはこれらがQuillen equivalenceになることを【Hov98】で述べている。
　2008年の唐津で行われた研究集会で島川氏による講演では、位相空間のcategoryをK-spaceやCGHに制限してcartesian closedを考えるのではなく、位相空間のmorphismを連続写像から少し拡張したnumericall continuous mapに取り替えることにより、制限をせずともcartesian closedの構造が入るらしい【SYH10】。

また、Map(X,Y)、Map_*(X,Y)のホモトピー類の集合をそれぞれ、

と書くことにすると、　

　ですので、こうした一般の議論がホモトピー群を読み解く上でも重要であることがわかる。

　上記のように位相空間（CGH）においてはHom(X,Y)はまた位相空間になっている。位相空間のcategoryは位相空間でenrichされている、もっと言えば同じcategoryでenrichされている。こういう状況は往々にしてあって、ModuleやComplex、Simplicial set、DG-cateoryなんかがそうである。

　fiberwise spaceではfiberwise compact open topologyが考えられている。Hom setをfberwise spaceと考えるために【CJ98】でcompact open topologyから派生させたようである。