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Model Category

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　Quillenはhomotopy論を展開する上でのcategoryとしてmodel categoryというものを【Qui67】で提唱した。これはcategoryに3種類のmorphismのクラスW,F,Cが指定され、ある条件を満たすものである。
　Quillenのオリジナルの論文は現在の定義と少し異なる部分があるので、入門的な論文としてDwyerとSpalinskiによる【DS95】がある。（余）極限の話から始まって証明も丁寧で読みやすい。より一般的な話は【Hov98】や【Hir02】がある。モデル圏において一番の胆なるのは持ち上げ公理と分解公理である。実際にモデル圏であること証明するのにも、一番厄介なのがこの二つだ。現在ではfunctorial factorizationで分解公理をよりスマートに述べ、さらに持ち上げ性質とも絡めた（weak）factorization systemの言葉で語るとモデル圏の定義はすっきりする。
　もちろんモデル圏の一番の例は位相空間である。おそらくはこれを念頭に置いて公理化したのだろうとは思う。Weak equivalence , cofibration, fibrationなどの単語は位相空間ではなじみが深いが、この３種類だけでホモトピー論を展開できるという主張には度肝を抜かれる。モデル圏を学ぶには位相空間のホモトピー論に精通し、できればホモロジー代数と単体的集合のホモトピー論に触れていると、理解した時の感動も一入だと思う。

　モデル圏の言葉を使うと、他の分野で行われているホモトピー論も統一して扱え、とてもすっきりとする。例えば、代数でのホモロジー代数などはDGMやDGAのモデル構造の話に翻訳できる。
　一般のsmall categoryからモデル圏を構成する方法が【Dug00】で述べられている。そのsmall categoryから一般のモデル圏へのfunctorを一意的に分解するという普遍性をもつ。具体的にはそのsmall category上のpresheafのcategoryを考えるようであるが。

　Quillenのモデル圏の定義以外にも、それとほとんど同じだが微妙に違うThomason model categoryという定義もある。【We01】。Quillen model categoryならば、Thomason model categoryではあるのだが、逆が成り立たない例として、例えばchain complexのcategoryにおいてweak equivalenceをquasi isomorphism、fibrationを全射でKernelがinjective、cofibrationを単射でcokernelがprojectiveという具合で定義するとこれはThomason model categoryであってQuillen model categoryでないらしい。
　そのほかにも2-圏でのモデル構造なんかも考えられているらしい。