Simplicial space

　Δ^opから空間へのfunctorをsimplicial spaceと呼ぶ。simplicial setはdiscreteなsimplicial spaceと考えられる。simplicial spaceで特に重要なのはsimplicial setでも同様だが、幾何学的実現というfunctorである。

　　　　　　　　　

幾何学的実現の基本的な性質を挙げると、

・ finite productとcommutative
・ colimitとcommutative
・ compact open topologyを考えた意味でのsingular functorのleft adojoint
・一般的にはobject wiseの(weak) homotopy equivalenceを保たない
・ simplicial setの時と違い、一般的にsimplicial spaceの実現はCW複体とは限らない
・空間Xに対し、constant functor on Xの実現はX

などがある。simplicial spaceについては、【西田85】、【May72】などがある。【FF89】はhomotopy論の基礎から丁寧に解説してある。Hausdorff空間からなるsimplicial spaceのrealizationはHausdorffになるというのは最近になって示された【Paz10】。
　object wiseのhomotopy equivalenceの保存については【Seg72】のAppendixで考えられている。かなり一般論で、どんなmorphismがrealizationで保存されるかをmonoidal category上で考えているのが、【Mey84】である。他には、【CDI02】なんかではargmentationが与えられたsimplicial spaceについて述べられている。
　simplicial spaceの代わりにbisimplicial setで考えている人も多い。これは、bisimplicial setをsimplicial setのsimplicial objectと考えたときに、simplicial setと空間の関係からなのだろう。bisimplicial set(space)の実現に関してはdiagonalの概念が重要である。【Qui】なんかにもあるように、bisimplicial spaceの実現を考えるとき、片側のindexを止めて、2回realizeを取るのとdiagonal simplicial spaceのrealizeとは一致する。

　様々な空間の構成にsimplicial spaceを経由してそのrealizationをとるというのはよく見かける。重要なのは、分類空間とhomotopy colimitである。これらの性質も全てsimplicial spaceのrealizationに起因するところが多い。

　simplicial spaceのmodel structureとしては色々選択肢がある。基本的には位相空間のmodel structureを引き継いでという形だが、object wiseのweak equivalenceというのが共通で、cofibrationやfibrationが色々変わる。代表的なのはReedy modelである。【Hir02】。Simplicial setの時のようにrealizationを取ってweak equivalenceというのも考えられそうな気がするのだが。