安定ホモトピー論トップ

スペクトラム

　ＰＤＦ　｜Spectrum｜Symmetric Spectra｜Model spectra

　スペクトラムと一口に言っても様々な種類がある。本によって定義がバラバラなのでその辺は必要に応じてどれが相応しいか考える必要もある。

　スペクトラムというのは一番簡単に言うと、空間の列である。structure mapのΣX_n→X_n+1あるいは、X_n→ΩX_n+1と考えてもよいが、これがhomotopy equivalence（あるいはhomeo）のときΣspectrum、Ωspectrumと呼んでいる。例としてSphere spectrumやEilenberg MacLane spectrumなんかがある。Adamsの【Ada74】を読んでみると良いらしい。

　spectrumは(co)homologyの表現にも用いられる。以前にEilenberg MacLane spectrumと空間のwedgeを考え、homotopy群を取ると特異homologyになる、というかhomology theoryを満たすという事実があった。双対的にEilenberg MacLane spaceへのhomotopy集合を考えると、これがcohomologyであった。Brownの表現定理という奴である。これをさらに一般化して、General homologyの圏とSpectrumの圏に対し、一対一の対応を与える事ができる。

　Hoveyはやはりと言うか、【Hov01】でspectrumもmodel categoryの視点から捉えている。これによると、model categoryにおいてself left Quillen functorからspectrumが構成できるという。さらには、そのspectrum自体のcategoryのmodel structureというもの考えられている。structureはおおむね二つ、level model structureとstable model structureというものが考えられる。このうちstable structureのhomotopy categoryをstable homotopy categoryと呼び、文字通りtriangulated categoryになる。いずれのspectrumにしてもこれは重要な事実であり、H.Margolisの「Spectra and steenrod algebra」で定義されている古典的なspectrumのhomotopy categoryはt-structureまで定義できるらしいが、それが現在のsymmetric spectraや【EKMM】によるspectrumにまで拡張できるかは謎である。