Triangulated category

　ＰＤＦ　｜Triagulated category｜Derived categories are triangulated
｜Triangulated category and model category｜

　K(A)やD(A)おける（コ）ホモロジーの核となる情報を抽出したのがtriangulated categoryである。triangulated categoryというのはtriangleなるものが定義されて色々な性質を満たすのだが、このtriangleとは（コ）ホモロジーにおける完全列と思ってよい。【Ne01】や【GM03】に詳しい定義が載っている。D(A)にはshiftという操作が可能なので、それを用いてtriangleを定義できる。位相空間で言うならばsuspensionが思い浮かぶが、一つの障害はsuspensionは基本的に元に戻せないところにある。suspensionのdualとしてはloopが考えられるが、ΩΣXやΣΩXがXとhomotopy同値になるとは考えずらい。

　この考えはより一般にmodel categoryにおいても議論できる。Hoveyは著書「model category」【Ho98】の中で、トポロジー的な視点からtriangulated categoryを構成している。それによれば、位相空間のみならずpointed model categoryはすべてpre-triangulated categoryになるらしい。が、この定義は以前の代数的なtriangulated category（Hoveyの言うところのclassic triangulated category）より難解である。
　ただ、代表的なtriangulated categoryであるabelian category(module)のDerived category、Spectrumのhomotopy categoryであるstable homotopy category、moduleのstable moduleのcategoryらはそれぞれ、complex、specturm、moduleのcategoryのstable model structureに由来する。もちろん、そういったstable model categoryのhomtopy categoryではないtriangulated categoryもある。【HL07】ではgraded ring上のprojective moduleのなすcategoryがtriangulated categoryになる必要十分なringの条件を考えている。
　位相空間で行われる様々な操作がtriangulated categoryで行うことができる。triangulated categoryの位相が【Oka07】で、K-theoryが【Nee99】で、普遍係数定理が【PR06】で、Brown representabilityが【Nee01】、次元が【Rou03】などで考えられている。triangulated categoryには空間で言うところの球面に対応するspherical objectというものがあり、【Ann07】ではspherical functorというtriangulated category間のfunctorを考えている。

　代数的なTriangulated categoryの公理も多くて複雑なのだが、加藤の「コホモロジーのこころ」【加藤03】ではAbelian categoryのDerived catgeoryの例題からその一般化としてtriangulated categoryを定義してあってわかりやすい。Abelian categoryよりも一般的なexact categoryからtriangulated categoryは構成され、adjoint functorの言葉でそれを定義しているのは【Gri06】である。身近なtriangulated categoryはそういった代数の側から来るものと、spectrumのようなtopologyの側面から来るものがある【Sch11】。前者のほうはalgebraic triangulated categoryなどと呼ばれ、DG categoryから構成されるという事を【Tab07】で述べている。
　　　　　　　　　　　　