Triangulated category

　ＰＤＦ　｜Triagulated category｜Derived categories are triangulated
｜Triangulated category and model category｜

　K(A)やD(A)おける（コ）ホモロジーの核となる情報を抽出したのがtriangulated categoryである。triangulated categoryというのはtriangleなるものが定義されて色々な性質を満たすのだが、このtriangleとは（コ）ホモロジーにおける完全列と思ってよい。【Ne01】や【GM03】に詳しい定義が載っている。D(A)にはshiftという操作が可能なので、それを用いてtriangleを定義できる。位相空間で言うならばsuspensionが思い浮かぶが、一つの障害はsuspensionは基本的に元に戻せないところにある。suspensionのdualとしてはloopが考えられるが、ΩΣXやΣΩXがXとhomotopy同値になるとは考えずらい。

　この考えはより一般にmodel categoryにおいても議論できる。Hoveyは著書「model category」【Ho98】の中で、トポロジー的な視点からtriangulated categoryを構成している。それによれば、位相空間のみならずpointed model categoryはすべてpre-triangulated categoryになるらしい。が、この定義はちょっと難解で以前の代数的なtriangulated category（Hoveyの言うところのclassic triangulated category）の代わりに広く普及するかというと疑問は残る。
　ただ、代表的なTriangulated categoryであるAbelian category(Module)のDerived category、Spectrumのhomotopy categoryであるstable homotopy category、moduleのStable moduleのcategoryらはそれぞれ、Complex、Specturm、Moduleのcategoryのstable model structureに由来する。もちろん、そういったstable model categoryのhomtopy categoryではないTriangulated categoryもある。

　代数的なTriangulated categoryの公理も多くて複雑なのだが、、加藤の「コホモロジーのこころ」【加藤03】ではAbelian categoryのDerived catgeoryの例題からその一般化としてTriangulated categoryを定義してあってわかりやすい。より詳細を調べるためには、Neemanの「Triangulated category」【Ne01】を見れば良いと思う。
　　　　　　　　　　　　

　
　Octahedral Axiomを表すdiagramがなんかとっても好き。