モノイド圏（Monoidal category）

　ＰＤＦ　｜monoidal category｜

　身近な圏には往々にして積、あるいは和の構造を持っていて集合で言うところのモノイドのようになっていることが多い。こういった圏はテンソル圏、モノイド圏と呼ばれ、その積（圏論的には双関手であるが）は

の記号が使われる。圏を扱う本なら、大体書いてあると思う。例えば、【Mac98】や、【KS05】なんかである。
　私たちが良く知るところの集合、位相空間、加群、DGM、単体的集合などの圏および、それらの基点つき圏はすべて通常の直積、直和、テンソル積などによりモノイド圏である。
　モノイド圏で重要なのが、モノイド対象というものである。これはモノイド圏（Ｃ、

、Ｉ）の対象であるMに対し、Ｍ

Ｍ→ＭとＩ→Ｍが与えられモノイドの状況を満たしていることである。例えば（Ｓｅｔ、×、*）のモノイド圏におけるモノイド対象とはちょうど通常の意味でのモノイドである。また、（R-mod、

_R、R）のモノイド圏におけるモノイド対象はR-algebraである。さらには圏Ｃの自己関手の成すモノイド圏（Funct(C,C)、合成、1）のモノイド対象はモナドと呼ばれ物である。モノイド圏内で自由モノイド対象を構成する方法をS.Lackが【Lac08】で定義し、それに関する性質が調べられている。
　モノイド圏の定義をきちんと書こうとすると、積や単位元に対して結合則や単位元の性質を満たしたりと、いわゆるcoherence conditionというものを満たさなければならないのだが、可換図を駆使してこれを定義するのはかなり面倒である。
　2-categoryの視点から、lax monoidal categoryというものもある【BW08】。この中で、そのcoherence conditionはoperadの言葉で記述されるとある。
　
　monoidalのconditionに加えて、closedのconditionも身近なcategoryは満たしている。これは、ある種自分自身のcategoryでenrichされていると思えるのだが、正確には【Hov98】なんかで見るといい。HomとMapという似てはいるが、違うfunctorでadjoinit conditionを満たすものと考えた方がよい。

　モノイド圏の積で可換性を満たすものは対称モノイド圏と呼ばれる。また、可換でなくとも組み紐群の関係式、いわゆるbraid relationを満たすものを組み紐モノイド圏（Braided monoidal category）とよぶ。【GP11】では、モノイド圏、組みひもモノイド圏の図式のホモトピー余極限を考えている。これはThomasonによる小圏の圏でのGrothendieck構成と、単体的集合の圏でのホモトピー余極限の関係【Tho79】を模している。