ホモトピー群トップ

群

ＰＤＦ　｜群｜H-space｜H-cospace｜Loop Sum｜ 　いまさら群の定義を確認するまでもないと思いますが、端的に言うと演算が定義されていて、結合律と単位元・逆元の存在が約束されている集合のことです。これは、structure mapという写像の言葉で書ける。 　これにより、Gに位相が入り、上記のstructure mapが連続としたときが位相群の定義となる。また、この図式の可換をホモトピー可換にまで弱めることでH-space、H-cospaceといった代数の概念を考える事ができます。これらの代表格にあたるのはloop space、susupension spaceなわけで、これがhomotopy群の構造に大きく関わっている。 　loop spaceの構成を少し変えて、Moore loop spaceというものを考えられる。これは長さにあたる正の実数と、そこから空間へのmapの組で、普通のloopが長さ1なのに対し、moore loopは合成でも長さを足して繋げるという画期的なアイデアである。これにより、moore loop spaceはH-spaceではなく、ほんとにstructureが可換となるtopological monoidとなる。さらにいえば、これらはH-spaceとして積を保つhomotopy equivalenceが存在する。 　H-spaceにおけるassociativityはhomotopy可換であるが、それを高次のassociativityにも拡張したのがA_n spaceと呼ばれているものである。本当のunitを持つH-spaceはA_3 spaceという事になる。homotopy unitの扱いは難しい。 　categoryの視点からは、群はobjectが一転のgroupoidと考えることもできる。ゆえに、群の分類空間やbar resolusionなんかも考えられ、homologyやcohomologyも考えられる。有限群のcohomologyについては【AM04】がよい。 　この話を知ったのは私は【AG02】という本がはじめだった。日本語では【西田85】やサイト「ファイバー束とホモトピー」なんかが良い。