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Morse理論

　Smooth manifoldの構造を知るために、M上の実数値関数 f : M → Rを考え、そのcritical pointの振る舞いからMの構造を調べようというのがMorse理論である。特に、f : M → Rがsmooth mapでcritical pointが全てnondegenerateなときfをMorse関数（Morse function）と呼ぶ。nondegenerateということはcritical pointは孤立して存在していて、元の多様体がcompactならcritical pointは有限個しかない。

　Morse functionのgradient vector fieldに着目する事が多い。特に、negative gradientとその速度微分が一致しているsmooth curveをgradient flowと呼ぶが、これはつまり、多様体上をgradient flowの逆向きに沿って進むcurve、つまりcritical valueが減少する方へ流れる曲線である。gradient flowは定義域の開区間の両端を見ると、その像としてはcritical pointに近づいていく。
　任意の多様体上の点を取ると、常微分方程式の解と一意性からそこを通過するgradient flowが一つ取れる。このとき、x∈Mでそれを通過するgradient flowがcritical pointであるaから出発するとき、そういうxを集めてMのsub manifoldができる。これをaのunstable manifold、逆にcritical poitであるbへ向かうgradient flowが得られるとき、stable manifoldという。これらは、open diskとdiffeomorphicであるらしい。任意の2つのcritical pointに対し、そのstable manifoldとunstable manifoldがtransversalityを満たすとき、つまりうまく交わるとき、Morse-Smale functionと呼ぶ。Morse理論ではこのtransvarsalityが重要になってくる事が多い。

　一番はMorse関数のcritical pointの個数とH^*(M)のBetti数の評価式である。指数nの臨界点の個数k_nと、n次元Betti数b_n(M)の間には、k_n≧b_n(M)という不等式が存在する。Morse不等式と呼ばれている。

　critical pointの数だけで多様体を完全に決定できる場合もある。Morse関数f : M → Rがcritical pointを２つ持つ場合、Mは球面に同相である。ただ、あくまでhomeoであって、diffeoまではいえないらしい。

　Morse functionからはMorse complexというchain complexが作れる。これは、k-次元には、指数kのcritical pointの集合から生成されるfree moduleをおき、differentialにはgradient flowを用いるらしい。無論、元の多様体のsingular chain complexのhomologyとMorse complexのhomologyは一致するらしい。

　SegalらはMorse関数に対し、ある種のtopological categoryを対応させ、その分類空間がもとの多様体とhomotopy equivalenceになるものを構成している。Morse-Smale conditionを満たすものならば、より強く同相までいえるということも述べられている。これも情報的にはcritical pointとgradient flowのからなっているので、Morse complexさほど変わらないように思える。