多様体トップ

Morse理論
　ＰＤＦ　｜Morse関数｜Morse理論｜Morseホモロジー｜

　滑らかな多様体Mの構造を知るために、M上の実数値関数 f : M → Rを考え、その臨界点の振る舞いからMの構造を調べようというのがMorse理論である。特に、f : M → Rが滑らかで、臨界点が全て非退化なときfをMorse関数（Morse function）と呼ぶ。非退化ということは臨界点は孤立して存在していて、元の多様体がコンパクトなら臨界点は有限個しかない。臨界点の周囲での状況や、ハンドル分解といった多様体の具体的な構造を考察できるのがMorse理論の強みである。Milnorの本が有名であるが、日本語では【松本05】や【横田78】がわかりやすい。M.Guestの【Gue01】には歴史的な背景も含めて、Morse関数の話が詳しく載っている。

　Morse関数の勾配ベクトル場に着目する事が多い。特に、（負の）勾配とその速度微分が一致している滑らかな曲線を勾配フローと呼ぶが、これはつまり、多様体上を勾配フローの逆向きに沿って進む曲線、つまり臨界値が減少する方へ流れる曲線である。勾配フローは定義域の開区間の両端を見ると、その像としては臨界点に近づいていく。
　任意の多様体上の点を取ると、常微分方程式の解と一意性からそこを通過する勾配フローが一つ取れる。このとき、x∈Mでそれを通過する勾配フローが臨界点であるaから出発するとき、そういうxを集めてMの部分多様体ができる。これをaの非安定多様体、逆に臨界点であるbへ向かう勾配フローが得られるとき、安定多様体という。これらは、開円盤と微分同相である。任意の2つの臨界点に対し、その安定多様体と非安定多様体がある種の交差性を満たすとき、つまりうまく交わるとき、Morse-Smale関数と呼ぶ。Morse理論ではこの交差性が重要になってくる事が多い。

　一番はMorse関数の臨界点の個数とH^*(M)のBetti数の評価式である。指数nの臨界点の個数k_nと、n次元Betti数b_n(M)の間には、k_n≧b_n(M)という不等式が存在する。Morse不等式と呼ばれている。また、Euler標数は臨界点の個数の交互和で求まってしまう。
　曲面上のMorse関数のホモトピー次元も考えられている【Mak07】。

　臨界点の数だけで多様体を完全に決定できる場合もある。Morse関数f : M → Rが臨界点を２つ持つ場合、Mは球面に同相である。ただ、あくまで同相であって、微分同相まではいえないらしい。

　Morse関数からはMorse複体というchain complexが作れる。これは、k-次元には、指数kの臨界点の集合から生成される自由加群をおき、微分には勾配フローを用いるらしい【深谷95】。Morse-Bott関数からホモロジーを考える事もできるらしい【BH06】。無論、元の多様体の特異ホモロジーとMorseホモロジーは一致するらしい。

　SegalらはMorse関数に対し、ある種の位相圏を対応させ、その分類空間がもとの多様体とホモトピー同値になるものを構成している。Morse-Smale条件を満たすものならば、より強く同相までいえるということも述べられている。これも情報的には臨界点と勾配フローのからなっているので、Morse複体さほど変わらないように思える。