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Cofibrantly generated |
| ＰＤＦ ｜cofibrantly generated｜ QuillenによるTOPや、DGM、Simplicial SetなどのModel構造に共通していえるのは、(co)fibrationの指定をacyclic cofibration(fibration)に対してLLP(RLP)を持つものと定義し、factorizationに用いるものをsmall object argumentを用いて構成するというものである。 これを形式化したものをcofibrantly generatedと呼ぶ。一般的にmodel圏であることを示したり、圏にmodel構造を導入するのは非常に面倒で、それを軽減するという意味でもcofibrantly generatedを知っておくと便利である。もちろんcofibrantly generatedではないmodel圏もある。【Cho03】、【Cho01】で、Chornyが空間のdiagramのcategoryにそうした例を与えている。例えばstromによるTOPのmodel構造なんかもある【Str72】。cofibrantly generatedの大元にあるのはweak factorization systemとsmall object argumentである。Garnerの解説がわかりやすい【Gar07】。 あるcategoryがmodel categoryである事を示すとき、よく知っているcofibrantly generated model categoryとのadjoint（freeとforgetfulなんかが多い）を考えることが往々にしてあり、その一連の操作をtransfer proncipalと呼んだりする。F : C ⇔ D : GでCがcofibrantly generatedのとき、そのgenerateing （acyclic）cofbrationをI,Jとおき、Dのmodel structureとしてweak equivalenceとfibrationをGで移してCのweak、fibrationになると定義し、cofibrationはlift propatyで定義すると、これはF(I)、F(J)をgeneration (acyclic)cofibrationとしたcofibrantly generated model categoryになりそうである。実際なるためには、F(I)、F(J)を用いてsmall object augumentを使えなくてはならないので、それが１点。もう一つの条件はrelative F(J)-cell complexがGで移すとCのweak equivalenceになるという条件なのだが、これが中々厄介らしい。そこで、Path object aurgumentという手法を使うと幾分楽になる。【SS98】のAppendixに書かれている。特にD(C)がall fibrantでtopological、あるいはsimplicial setでenrichされclosedの状況の場合はおおよそ都合がいい。 Gerss Schemmerhornの【GS06】か、【Hov99】、あるいは【Hir02】に詳しい事が載っている。 |