Ring spectrum

　ＰＤＦ　｜EKMM spectra｜Harf twisted smash product｜L-spectra

　古典的なスペクトラムの欠点はhomotopy categoryにまで落とさないとsmash productがうまく定まらない点にあった。当初のsmash productは可換はおろか結合律もhomotopy categoryを考えないと満たさなかった。A-inftyの状況である。そういった弱い積構造をもったスペクトラムは何種類か考えられていたようである。

A-infty ring spectrum

E-infty ring spectrum　【May09】

H-infty ring spectrum　【Noe02】

などである。紆余曲折を得て、演算と完備性をうまく保つようなspectrumおよびそのsmash productを考えたのが【EKMM97】の四人である。本ではL-spectrumと呼ばれている。しかしこれもunitalでは無い、つまり単位元がうまく定められない欠点があり、さらにそれを補ってS-moduleという形に昇華したらしい。
　symmetric spectrumにも同じようにsmash productが定義できることがHoveyのpre-printに載っていた。つまるところspectrumは（非負）整数でindexが付けられていると、smash productを定義するのは困難なようで、それを拡張してあげることが必要らしい。EKMMは整数をcategorificationしたベクトル空間でindexを付けたし、symmmetric spectraも対称群の作用を踏まえた。
　さらには、orthgonal spectumというものも考えられていて、【Gre06】なんかには比較して書かれている。

　spectrumの積が定義できたという事は、spectrumのcategoryにmonoidal structureが備わったという事である。このmonoid objectをring spectraと呼ぶ。monoidがあれば、当然それ上のmoduleも考えられる。それにまつわる有名な事実として、可換環R上のmoduleと、RのEilenberg-Maclane spectrum HR上のmoduleの圏はmodel categoryとして同値であることが知られている。さらにその考えはDG ringや、DG catgeoryとspectrum categoryの対応にも発展している【Shi02】、【Tab08】。

　Ring spectrumに対してhomologyを考えようという動きもある。【Laz02】ではAndre-Quillen homologyを定義し、【HK10】ではhomlogical dimensionを考えている。