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Smash Product on Spectra

　ＰＤＦ　｜EKMM spectra｜Harf twisted smash product｜L-spectra

　古典的なspectrumの欠点はhomotopy categoryにまで落とさないとsmash productがうまく定まらない点にあった。当初、Lewisらが考えたsmash productは可換はおろか結合律もhomotopy categoryを考えないと満たさなかった。その後それをやや改良して、結合律や可換性を整えたspectrumが考え出されたが、今度は完備性（limitとcolimitで閉じている）が失われてしまった。
　そういった紆余曲折を得て、演算と完備性をうまく保つようなspectrumおよびそのsmash productを考えたのが【EKMM97】の四人である。本ではL-spectrumと呼ばれている。しかしこれもunitalでは無い、つまり単位元がうまく定められない欠点があり、さらにそれを補ってS-moduleという形に昇華したらしい。

　ただしここではsmash productを定義するところまでしか考えていない。それがきちんとassosiativityやcomutivityを満たすかどうかは本を参考にしてほしい。というのも、この構成が半端なく面倒。なんで、ベクトル束作ってそのThom空間までを考えなきゃいけないのか。

　symmetric spectrumにも同じようにsmash productが定義できることがHoveyのpre-printに載っていた。
　つまるところspectrumは（非負）整数でindexが付けられていると、smash productを定義するのは困難なようで、それを拡張してあげることが必要らしい。EKMMは整数をcategorificationしたベクトル空間でindexを付けたし、symmmetric spectraも対称群の作用を踏まえた。