Brownの表現定理

　ＰＤＦ　｜Brown表現定理｜コホモロジーの表現｜Moore空間｜Eilenberg-Maclane空間｜

　Brown関手というのは加法性と、押し出しの図式の性質を持つCW_*からSetへのホモトピー不変反変関手のことである。例えば空間Bを固定して[　,B]_*という写像のホモトピー集合を対応させる関手や、コホモロジー関手などが当てはまる。
　Brownの表現定理とはこのようなBrown関手はすべて写像のホモトピー集合として表現できるというものです。これはファイバー束の分類定理の一般型と考えられる。
　Brown関手とBrown表現定理については【西田85】が一番ではないかと思われる。また、Neemanは【Ne01】でTriangulated categoryでのBrown表現定理を考えている。

　Brown表現定理を使うとコホモロジー群も、ある空間を用いて次のような写像のホモトピー集合の集合で表せる。このときの空間がEilenberg-MacLane空間である。

　
　またホモロジー群においては無限対称積をとる操作でホモトピー群を考えれば、ホモロジーと合致する。Dold-Thomの定理である。ホモトピー集合としてホモロジーを定義して話を進めているトポロジーの本が【AG02】である。


　またスペクトラムと絡めたホモロジーの構成もある。


　でホモロジーがあらわせる。K(π,-)はEilenberg-MacLaneスペクトラムである。正確に言うなら（コ）ホモロジーのような安定条件を含む関手はスペクトラムのような安定した、つまり（ホモトピー圏が）三角圏から出発して考えた方がよいのかもしれない。【Ma99】を参照にすると良い。これを踏まえるとホモトピー群を安定化したものがホモロジー群であるといえる。
　Moore空間の定義は、単純に（被約）ホモロジー群で定義される。

　一番簡単な例は球面ですが、それでは整数型のMoore空間にしかなりません。一般のアーベル群にまで広げるためには、球面を応用して構成法を考えるしかありません。

　Eilenberg-MacLane空間はMoore空間とほぼ同じだが、こちらはホモトピー群を用いて定義する。


　この構成法となるとなかなか難解である。１次元ぐらいなら通用しますが、一般のn次元球面はもはやEilenberg-MacLane空間とはよべません。

　ここでは構成法の１つとして、Moore空間に胞体を貼り付け高次元のホモトピー群を消去し、Eilenberg-MacLane空間を構成する方法を考えます。この方法の他にもファイバー束の分類定理を用いると、アーベル群を離散位相で位相群と思ったとき、その分類空間にもアーベル群の構造が入るので、これを複数回繰り返してどんな型のEilenberg-MacLane空間でも構成できる。またDold-Thomの定理を使ってもEilenberg-MacLane空間が構成できる。具体的な構成法に関しては【西田85】に書いてある。