(Co)Fibration

　ＰＤＦ　｜ファイブレーション｜homotopy fiber列｜cofibration｜
　　　　　｜homotopy cofiber列｜fiberation and cofibration｜

　ファイバー束で重要だったのは被覆ホモトピー性質に付随する写像の持ち上げであった。ファイブレーションとはこの性質にのみ着目したものと思えばよい。基本はパスループファイブレーション

なんかである。また、
　

　というファイブレーションに対し、
　　　　　　　

という完全列を生み出すのが重要である。写像　

　に対し、写像跡

　　　　　　

と、

　が、

　で定義され、これはファイブレーションになる。また、このファイバーを　

　と書き、fのホモトピーファイバーと呼ぶ。この操作を順次行うことにより、

というホモトピーファイバー列なるものを考える事ができる。ここからホモトピー群の長い完全列がどんなfに対しても生まれる。fがファイブレーションであれば、ホモトピーファイバーと本来のファイバーが弱同値になるので、冒頭の長い完全列が派生するという寸法である。コファイブレーションでも同様の議論ができる。こちらはコホモロジーの長い完全列との関連が強い。
　これら一連の操作は【西田85】あるいは、「ファイバー束とホモトピー」のサイトにも詳しく載っているので読んでみるといい。
　（コ）ファイバーなどは、図式の引き戻し（押し出し）で考えると話が見やすいかもしれない。例えば、(X→Y←*)の図式の引き戻しがファイバーであり、ホモトピー引き戻しがホモトピーファイバーである。(*→Y←*)の引き戻しは*だが、ホモトピー引き戻しはΩYである。また、(X→Y←Y)のホモトピー引き戻しが写像跡である。一般に、ホモトピー（余）極限と通常の（余）極限が弱同値になるのはどういう状況か、さらに一般的なモデル圏における理論は【Hir02】が詳しい。

　さらにfファイブレーションを弱めて弱ファイブレーションという概念もある。これはホモトピー群の長い完全列の派生について言及したもので、弱同値とも密接に関わってくる。