多様体の双対定理

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　多様体におけるホモロジー群とコホモロジー群の関係を示したのが双対定理である。キャップ積を用いて、compactな向き付けられるn多様体Xに対し、特性類のcap product

　　　　　　　　　　

が同型になる。とはいえ、これを用いて具体的な空間を計算した思い出はないのだが。実際のところcompactで向き付けられる多様体なんて、球面か奇数次元の実射影空間ぐらいしか思い当たりませんが、そんなものは当の昔に求めてある。
　この証明に関しては【中岡99】を参照のこと。実際のところ空間のコンパクト性ははずしても定理は成り立つらしい。という事が【May99】には書いてある。
　この双対定理の境界ある多様対のversionがLefshez双対定理である。境界のある多様体の場合、襟近傍というものがとても重要になってくる。

　これらの双対定理の応用としてアレクサンダーの双対定理というものもある。これは、球面から閉部分集合を除いた空間のホモロジーに関する定理である。まぁ、これも実際に役に立った思い出はないのだけど。