Stack

　ＰＤＦ　｜Stack｜

　Stackの前にPrestackを考える。Prestackは集合に値を持つpresheafの定義で、集合のcategoryの部分をsmall categoryのcategory、あるいはgroupoidのcategoryへ拡張した概念である。つまり、

　　　　　　　　

というものだが、実はこういう書き方をしながらこれはFunctorではない。objectとmorphismの対応までは同じだが、identityとcompositionを完全に保たなくても良い。F(f)F(g) → F(gf)というnatural transformationがあって、unitとassociativityに関する条件を満たせばよい。（なんとなく、この定義はA-infty functorに似ている）。というのも、small categoryのcategory自体、2-categoryの構造を持っているので、homotopy論的にもup to homotopyで良いだろう、というのは良くある事である。

　presheafでfiberwise spaceと対比したように、prestackでも対比する対象がありそれが(pre)fibered categoryと呼ばれるものである。定義的にはほんとにfunctorのfiberといった感じである。

　　　　　　　

となるわけである。Stack、Prestackについては【KS05】のちょうど最後の章に書かれている。
　StackはSheafのとき同様、Prestackに複雑な張り合わせ条件を付けたものだが、Hollanderはmodel categoryの視点からそれを言い換えている。彼は【Hol01】で、prefibered categoryとほんとのfunctor categoryへの対応、

　　　　　

を考えた上で、(X,J)がsiteであるときGroupouidsのmodel structureからfunctor categoryをmodel categoryと考え、それをJを用いてlocalizeしたmodel categoryでのfibrant objectがstackであるということらしい。