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モデル圏の例 |
| PDF ｜ＤＧＭの圏｜Quillenによる位相空間の圏｜Frobenius環上のmoduleの圏｜ ｜Stromによる位相空間の圏 Fibration、cofibration、weak equivelenceと聞いてすぐに思いつくのは位相空間の圏である。当然ながら、model categoryの構造はこれを参照にしているわけで、位相空間の圏はmodel categoryになる。ただし、そのmorphismの指定の仕方は一意ではない。まず、weak equivalenceはその名のとおり、weak homotopy equivalenceを選ぶか、単にhomotopy equivalenceにするかで選択肢があるし、fibrationもSerre fibrationとHurewiz fibrationの選択肢がある。思い切ってisomorphismを指定して自明なmodel categoryを考える事もできる。 位相空間の他にもchain complexの圏がモデル圏になり、比較的考えやすい。【Hov98】にはprojective typeとinjective typeが載っている。しかし、monoidal structureとの相性を考えるとこれらに不都合があり、【Gi04】ではflat model structureを考えている。また、Strom typeの位相空間のmodel structureに対応するchain homotopy equivalenceをweak equivalenceとしたmodel structureもある【SV02】。 さらに単体集合の圏のKan typeのモデル構造は、位相空間のQuillen typeのモデル構造とリンクするところが多い。ただし、単体集合がモデル圏であることを示すのは難しいようなのでここでは省略。詳しくは【Hov98】か、【GJ99】あるいはQuillenのモデル圏に関する最初の論文【Qui67】を見た方がいい。が、Quillenのオリジナルは現在のモデル圏の扱いとはかなり異なっているようだ。 Model structureが考えられないようなところでも、そこからあるmodel categoryへのfunctor全体、つまりsheafを考える事で、model structureを考える事ができる。米田の埋め込みを考えれば、圏を拡張したところでhomotopy論を行えるようになる。よく用いられるのは値域にsimplicial setの圏をすえるものである。普通はfunctor categoryというと定義域はsmall categoryであるが、【CD06】ではcocompleteなLarge categoryでもmodel structureが考えられると述べている。 環Rにおいて、特にR-moduleにおけるprojective moduleとinjective moduleが一致しているとき、Rを(準)フロベニウス環（Frobenius ring）と呼ぶ。 Chain complexのcategoryがmodel structureを持つのだから、それ以前にmoduleのlevelでもmodel structureを持つのではと考えるのが自然なのだろうが、これが中々惜しいらしい。しかし、Frobenius環上のmoduleならばかなりsimpleなmodel structureを持ち、しかもcofibrantly generatedなものを定義できる。一般にR-moduleのmorphismにはstable equivalenceというclassが考えられ、それで局所化した圏をR上のstable moduleのcategoryと呼ぶ。stableと名がつくように、これはtriangulated categoryとなる。RがFrobenis ringの時は、上記でいうmodel structureを考えたときのhomotopy categoryに相当する。Frobenius ring上のmoduleのmodel structureについては【Hov98】に数ページだが詳しく載っている。 ２つの環があったときに、それ上のstable moduleのcategoryがtriangulated categoryとして同値というstable module equivalenceなるものが考えられる。これはMorita equivalence、derived equivalenceにも深く関わる。 【GM03】ではより一般にFrobenius categoryというものを考え、その局所化としてstable categoryを定義している。このようにFrobenius categoryから構成されるtriangulated categoryをalgebraic trianglated categoryと呼ぶ。さらにcompact generated algebraic triangulated categoryをwell generatedと呼ぶが、これはsmall dg categoryのderived categoryからなるという事がわかっている。 ＤＧＭ、Quillenによる位相圏、Simplicial setの圏、そしてfrobenius ring上のmoduleの圏のmodel構造にはある共通性がある。感覚的には(co)fibrationを定めて、cofibration(fibration)をacyclic (co)fibrationに対して(R)LLPを持つものとし、factorizationではsmall object argumentを用いる方法である。これを形式化したものがcofibrantly generatedである。これは複雑なmodel構造を平易にしてくれる良い方法であるが、これをもちいらない構成もある。例えばStromによる位相圏のmodel構造である。これについてはStrom自身の【Str72】に書いてあるらしい。 ・ 位相空間のcategory （Quillen-type） 【DS95】、【Hov98】 ・ 位相空間のcategory （Strom-type） 【Str72】 ・ 位相空間のcategory （L-type） 【CK02】 ・ 位相空間のcategory （n-type） 【CEHL】 ・ 位相空間のcategory （[n,m]-type） 【APR97】 ・ CGHのcategory （Quillen-type） 【Hov98】 ・ CGHのcategory （Strom-type） 【Has75】 ・ chain complexのcategory （projective or injective-type） 【DS95】、【Hov98】 ・ chain complexのcategory （flat-type） 【Gi04】 ・ chain complexのcategory (chain homotopy type) 【SV02】 ・ simplicial setのcategory （Kan-type）【Hov98】、【Hir02】、【Bek08】 ・ simplicial setのcategory （Joyal-type） 【Joy08】、【Rie08】、【Lur08】 ・ bisimplicial setのcategory （Bousfield-Kan type） 【GJ99】 ・ bisimplicial setのcategory （Reedy type） 【GJ99】 ・ bisimplicial setのcategory （Moerdijk type） 【GJ99】 ・ Frobenius ring上のmoduleのcategory 【Hov98】 ・ Ding-Chen ring上のmoduleのcategory 【Gil09】 ・ spectrumのcategory 【HSS00】 ・ small categoryのcategory （Thomason-type） 【Tho80】 ・ small categoryのcategory （Joyal-type） 【Re00】 ・ acyclic categoryのcategory（Thomason-type）【Rom15】 ・ groupoidのcategory 【Hol01】、【And78】、【CGT04】 ・ equivalence relationのcategory 【Lau06】 ・ small 2-categoriesのcategory 【La07】、【WHPT】 ・ 2-groupoidのcategory 【Noo08】 ・ bicategoriesのcategory 【La04】 ・ small n-fold categoryのcategory 【FP08】 ・ omega-categoryのcategory 【LMW07】 ・ simplicial groupoidのcategory 【GMO00】 ・ simplicial groupoid、2-groupoid上のpresheafのcategory 【LBK03】 ・ dg-categoryのcategory （quasi iso-type） 【Ta05】 ・ dg-categoryのcategory （Morita-type） 【Ta04】 ・ simplicial categoryのcategory 【Be04】 ・ simplicial moduleのenrichしたcategoryのcategory 【St07】 ・ C^*-algebraのenrichしたcategoryのcategory 【Del10】 ・ symmetric monoidal model category上のoperadのcategory 【BM02】 ・ operad上のmodule、algebraのcategory 【Sp01】 ・ orthogonal spectaのoperadのcategory 【Kro07】 ・ monoidal model category上の(co)module、algのcategory 【SB98】、【Sta08】 ・ monoidal model category上のcomonoid、coalgのcategory 【Sta08'】、【HS12】 ・ ex-category（parametrize category）のcategory 【MS04】 ・ flowのcategory 【Ga03】 ・ graphのcategory 【Dro12】 位相空間などのcategoryで同じcategoryに２つのmodel structure、（W1、F1、C1）と（W2、F2、C2）があり、W1⊆W2、F1⊆F2という状況にあるとき、これらのmodel structureをmixして、新たに（W2、F1、C?）というmodel structureを構成できる【Col06】。例えば、位相空間なら、weak homotopy equivalenceをweak equivelence、Hurewize fibrationをfibrationにしたmodel structureが存在する。このときのcofibrant objectはCW complexのhomotopy typeを持つ空間である。 また、【Bek08】を見るとsimplicail setにはKan typeのweak equivalenceを固定して無限個のmodel structureが入る。特にn=2のときは、CatのThomason type model strctureとの関係が深い。一般的にweak equivaenceを固定したとき、そのcategoryにどんなmodel structureが入るかが、【Bek03】で考察されている。 |